Isi
- tahap
- Untuk memulai
- Metode 1 Lanjutkan dengan coba-coba
- Metode 2 Lanjutkan dengan dekomposisi
- Metode 3 dari 3: "permainan tiga"
- Metode 4 Perbedaan dua kotak
- Metode 5 dari 5: Menggunakan rumus kuadratik
- Metode 6 dari 6: Menggunakan kalkulator
Polinomial terdiri dari variabel (x) dinaikkan ke kekuatan tertentu yang disebut derajat polinomial, dan beberapa istilah lain dengan derajat lebih rendah dan / atau beberapa konstanta lainnya. Untuk memfaktorkan polinomial derajat kedua (juga disebut "persamaan kuadrat") berarti mengurangi ekspresi awal menjadi produk ekspresi derajat yang lebih kecil yang kemudian dapat dikalikan satu dengan yang lain. Pengetahuan ini adalah bagian dari kursus sekolah menengah dan banyak lagi, jadi artikel ini mungkin sulit untuk dipahami jika Anda belum memiliki tingkat matematika yang diperlukan.
tahap
Untuk memulai
-
Tulis ekspresi Anda. Bentuk standar dari persamaan derajat kedua adalah:kapak + bx + c = 0
Mulailah dengan mengatur syarat-syarat persamaan Anda sesuai dengan urutan kekuatan, dari yang terbesar ke yang terkecil, seperti dalam bentuk standar. Ambil contoh:6 + 6x + 13x = 0
Kami akan mengatur ulang ungkapan ini untuk memudahkan pekerjaan dengan hanya memindahkan ketentuan:6x + 13x + 6 = 0. -
Temukan formulir yang diperhitungkan menggunakan salah satu metode yang dijelaskan di bawah ini. Faktorisasi akan memberikan dua ekspresi lebih pendek yang akan memberikan polinomial awal jika kita mengalikannya satu dengan yang lain:6x + 13x + 6 = (2x + 3) (3x + 2)
Dalam contoh ini, (2x +3) dan (3x + 2) adalah faktor-faktor dari ekspresi awal, 6x + 13x + 6. -
Periksa pekerjaan Anda! Lipat gandakan faktor yang telah Anda identifikasi. Kemudian gabungkan istilah-istilah serupa dan Anda akan selesai. Mulai dengan:(2x + 3) (3x + 2)
Mari kita mulai menguji ekspresi ini, mengalikan persyaratan dari dua ekspresi untuk mendapatkan:6x + 4x + 9x + 6
Dari sana, kita dapat menambahkan 4x dan 9x karena mereka adalah istilah dengan derajat yang sama. Kami tahu kemudian bahwa faktor-faktor kami benar karena kami memahami ekspresi keberangkatan:6x + 13x + 6.
Metode 1 Lanjutkan dengan coba-coba
Jika Anda berurusan dengan polinomial yang cukup sederhana, Anda harus dapat melihat dekomposisi sebagai produk faktor sekilas. Sebagai contoh, banyak ahli matematika dapat melihat ekspresi itu 4x + 4x + 1 memberikan faktor (2x + 1) dan (2x + 1) oleh kebiasaan dan dengan pengalaman (jelas, ini tidak begitu sederhana dalam kasus polinomial kompleks). Untuk contoh ini, mari kita ambil ungkapan yang kurang umum:
.
-
Buat daftar faktor koefisien memiliki dan c. Menggunakan ekspresi formulir kapak + bx + c = 0, identifikasi koefisien memiliki dan c dan daftar faktor yang sesuai. Untuk: 3x + 2x - 8, ini memberi:a = 3 dan hanya memiliki satu pasang faktor: 1 * 3 c = -8 dan empat pasang faktor: -2 * 4, -4 * 2, -8 * 1, dan -1 * 8 .. -
Tulis di selembar kertas Anda dua pasang kurung dengan ruang untuk menulis di dalamnya. Anda akan memasukkan konstanta untuk setiap ekspresi dalam ruang yang disediakan:(x) (x). -
Sebelum x, tuliskan sepasang faktor yang memungkinkan untuk koefisien memiliki. Untuk koefisien memiliki dalam contoh kita, 3x, hanya ada satu kemungkinan:(3x) (1x). -
Kemudian isi dua ruang kosong yang tersisa dengan sepasang faktor untuk koefisien c. Ambil contoh 8 dan 1. Tuliskan:(3x8) (X1). -
Putuskan sekarang tandanya (lebih atau kurang) untuk menempatkan antara x dan nomor yang Anda tempatkan setelahnya. Menurut tanda dari ekspresi asli, adalah mungkin untuk menemukan apa yang seharusnya menjadi tanda-tanda konstanta. panggilan h dan k konstanta dari faktor kami:Jika kapak + bx + c maka (x + h) (x + k) Jika kapak - bx - c atau kapak + bx - c maka (x - h) (x + k) Jika ax - bx + c maka (x - h) (x - k)
Dalam contoh kita, 3x + 2x - 8, tanda-tanda harus ditempatkan dengan cara berikut: (x - h) (x + k), yang memberi kita dua faktor berikut:(3x + 8) dan (x - 1). -
Periksa formulir faktor Anda dengan mengembangkan kembali itu. Tes cepat pertama adalah untuk memeriksa apakah jangka menengah memiliki nilai yang tepat. Jika x tidak baik, maka Anda mungkin telah memilih pasangan faktor yang salah untuk koefisien c. Mari kita periksa hasil kami:(3x + 8) (x - 1)
Dengan melakukan perkalian, kita mendapatkan:3x - 3x + 8x - 8
Menambahkan istilah yang serupa (-3x) dan (8x) untuk menyederhanakan ungkapan ini, kami memperoleh:3x - 3x + 8x - 8 = 3x + 5x - 8
Kita sekarang tahu bahwa kita mungkin telah mengidentifikasi faktor-faktor yang salah:3x + 5x - 8 ≠ 3x + 2x - 8. -
Jika perlu, bertukar faktor pilihan Anda. Dalam contoh kita, mari kita coba 2 dan 4 bukannya 1 dan 8:(3x + 2) (x - 4)
Sekarang koefisien kami c adalah -8, tetapi perkalian (3x * -4) dan (2 * x) memberikan -12x dan 2x, yang selain itu tidak selalu memberikan nilai awal dari b, yaitu + 2x.-12x + 2x = 10x 10x ≠ 2x. -
Jika perlu, balikkan urutannya. Kita membalikkan dalam contoh kita tempat 2 dan 4:(3x + 4) (x - 2)
Sekarang koefisiennya c selalu baik, tetapi koefisien dari istilah dalam x bernilai saat ini -6x dan 4x. Setelah ditambahkan, ini memberi:-6x + 4x = -2x 2x ≠ -2x Kami sangat dekat dengan nilai awal 2x yang kami cari, tetapi tandanya tidak baik. -
Periksa kembali tanda-tandanya jika perlu. Kami sekarang akan menjaga urutan yang sama, tetapi kami akan bertukar tanda:(3x - 4) (x + 2)
Koefisien sebelumnya c selalu baik, dan istilah dalam x sekarang bernilai (6x) dan (-4x). Sejak:6x - 4x = 2x 2x = 2x Jadi kami mendapatkan 2x yang awalnya kami miliki. Jadi kami mungkin menemukan faktor yang tepat.
Metode 2 Lanjutkan dengan dekomposisi
Metode ini akan memungkinkan kami untuk mengidentifikasi semua faktor yang mungkin untuk mendapatkan koefisien memiliki dan c dan menggunakannya untuk mengidentifikasi faktor mana yang tepat. Jika angkanya sangat besar atau metode coba-coba lainnya terlihat terlalu panjang, Anda dapat menggunakan metode ini. Ambil contoh berikut:
.
-
Lipat gandakan koefisiennya memiliki oleh koefisien c. Dalam contoh kita, memiliki sama dengan 6 dan c juga sama dengan 6.6 * 6 = 36. -
Temukan koefisien b dengan memfaktorkan dan kemudian menguji faktor-faktor yang diperoleh. Kami mencari dua angka yang merupakan faktor produk memiliki * c yang telah kami identifikasi dan yang jumlahnya sepadan dengan nilai koefisien "b" (13).4 * 9 = 36 4 + 9 = 13. -
Perkenalkan dua angka yang baru saja Anda masukkan ke dalam persamaan Anda; tempatkan mereka di depan x, sehingga jumlah mereka sama dengan koefisien b. Mari kita ambil surat-suratnya k dan h untuk mewakili dua angka yang diperoleh, 4 dan 9:kapak + kx + hx + c 6x + 4x + 9x + 6. -
Buat faktor polinomial Anda dengan pengelompokan. Atur persamaan untuk menemukan faktor umum terbesar dari dua suku pertama dan faktor umum terbesar dari dua suku terakhir. Anda kemudian harus mendapatkan jumlah dari dua bentuk faktor yang identik. Jumlahkan dua koefisien bersama dan letakkan di dalam tanda kurung di depan formulir faktor Anda; Anda kemudian mendapatkan dua faktor Anda:6x + 4x + 9x + 6 2x (3x + 2) + 3 (3x + 2) (2x + 3) (3x + 2).
Metode 3 dari 3: "permainan tiga"
Metode ini sangat mirip dengan yang sebelumnya. Ini terdiri dari memeriksa faktor-faktor yang mungkin untuk produk dari koefisien memiliki dan c, lalu gunakan untuk menemukan nilai b. Ambil contoh persamaan berikut:
-
Lipat gandakan koefisiennya memiliki oleh koefisien c. Seperti metode dekomposisi, ini akan membantu kami mengidentifikasi kandidat potensial untuk koefisien b. Dalam contoh kita, memiliki sama dengan 8 dan c bernilai 2.8 * 2 = 16. -
Temukan dua angka yang produknya merupakan angka yang baru ditemukan sebelumnya (16) dan yang jumlahnya menghasilkan koefisien "b". Langkah ini identik dengan metode dekomposisi - yaitu, kami menguji dan menolak kandidat untuk konstanta. Produk dari koefisien memiliki dan c sama dengan 16, dan koefisien c sama dengan 10:2 * 8 = 16 8 + 2 = 10. -
Ambil dua angka ini dan gantilah dalam formula "triple play". Ambil dua angka dari langkah sebelumnya - sebut saja mereka h dan k - dan perkenalkan mereka dalam ungkapan berikut:((kapak + h) (kapak + k)) / a
Kami kemudian mendapatkan:((8x + 8) (8x + 2)) / 8. -
Temukan yang mana dari ekspresi kurung dalam pembilang yang dapat dibagi dengan koefisien memiliki. Dalam contoh ini, kami menguji apakah (8x + 8) atau (8x + 2) dapat dibagi dengan 8. (8x + 8) dapat dibagi dengan 8, maka kami akan membagi ekspresi ini dengan memiliki dan biarkan ungkapan lain apa adanya.(8x + 8) = 8 (x + 1)
Ekspresi yang kita simpan di sini adalah ekspresi yang tetap setelah pembagian dengan koefisien memiliki : (x +1). -
Cari - jika ada - faktor umum yang lebih besar di kedua tanda kurung. Dalam contoh kami, ekspresi kedua memiliki faktor umum yang lebih besar dari 2, karena 8x + 2 = 2 (4x + 1). Gabungkan jawaban ini dengan ekspresi yang Anda temukan di langkah sebelumnya. Dengan demikian, Anda telah menemukan dua faktor polinomial Anda.2 (x +1) (4x +1).
Metode 4 Perbedaan dua kotak
Beberapa koefisien polinomial dapat diidentifikasi sebagai "kuadrat", artinya produk dari perkalian dua angka. Dengan mengidentifikasi kotak-kotak ini, Anda dapat memfaktorkan beberapa polinomial lebih cepat. Ambil contoh persamaan:
-
Mulailah dengan memfaktorkan segala sesuatu menjadi faktor umum yang lebih besar jika memungkinkan. Dalam contoh kita, kita melihat 27 dan 12, keduanya dapat dibagi oleh 3, sehingga kita dapat "memecah" ekspresi awal sebagai berikut:27x - 12 = 3 (9x - 4). -
Identifikasi jika koefisien dari persamaan Anda adalah angka kuadrat. Untuk menggunakan metode ini, Anda harus dapat menemukan akar kuadrat untuk koefisien Anda (perhatikan bahwa kami tidak mempertimbangkan tanda-tanda negatif - karena kami berurusan dengan kuadrat, mereka mungkin merupakan produk dari dua angka positif atau negatif)9x = 3x * 3x dan 4 = 2 * 2. -
Dengan menggunakan akar kuadrat yang Anda temukan, tulis faktor Anda. Ambil nilai-nilai memiliki dan c sebelumnya ditemukan - memiliki = 9 dan c = 4 - sebelum menemukan akar kuadrat mereka - √memiliki = 3 dan √c = 2. Ini akan menjadi koefisien dari ekspresi faktor kami:27x - 12 = 3 (9x - 4) = 3 (3x + 2) (3x - 2)
Metode 5 dari 5: Menggunakan rumus kuadratik
Jika semua metode di atas gagal dan Anda tidak dapat menemukan faktor yang benar untuk persamaan Anda, maka gunakan rumus kuadratik. Ambil contoh berikut:
-
Ambil nilai koefisien "a", "b" dan "c" dan gantikan dengan rumus kuadrat berikut:x = -b ± √ (b - 4ac)
---------------------
2a
Kami kemudian mendapatkan ungkapan:x = -4 ± √ (4 - 4 • 1 • 1) / 2. -
Memecahkan persamaan untuk menemukan x. Seperti yang Anda lihat di atas, Anda harus mendapatkan dua nilai x:
x = -2 + √ (3) atau x = -2 - √ (3). -
Gunakan nilai x untuk menemukan faktor-faktornya. Masukkan nilai x yang diperoleh sebelumnya sebagai konstanta dari dua ekspresi polinomial. Ini akan menjadi faktor Anda. panggilan h dan k nilai-nilai x, dan tulis dua bentuk faktor:(x - h) (x - k)
Dalam hal ini, hasil akhirnya adalah:(x - (-2 + √ (3)) (x - (-2 - √ (3)) = (x + 2 - √ (3)) (x + 2 + √ (3)).
Metode 6 dari 6: Menggunakan kalkulator
Jika Anda diizinkan menggunakan kalkulator grafik, perlu diketahui bahwa ini akan sangat memudahkan tugas Anda, terutama saat ujian. Instruksi ini hanya berlaku untuk kalkulator grafis dari merek Texas Instrument. Ambil contoh persamaan berikut:
-
Masukkan persamaan Anda dalam kalkulator. Anda harus menggunakan "persamaan resolver", yaitu layar. -
Buat representasi grafis dari persamaan Anda pada kalkulator. Setelah memasukkan persamaan, tekan - Anda kemudian akan melihat representasi grafis dari kurva muncul (lebih tepatnya, Anda akan mendapatkan "busur" karena Anda mengerjakan polinomial). -
Temukan titik persimpangan busur dengan sumbu x (x). Karena persamaan polinom secara tradisional ditulis dalam bentuk: ax + bx + c = 0, ini adalah dua nilai x yang ekspresinya sama dengan nol:(-1, 0), (2 , 0) x = -1, x = 2. - Jika Anda tidak dapat membaca nilai di mana kurva Anda melintasi sumbu x, tekan lalu. Tekan atau pilih "nol". Gerakkan kursor ke kiri salah satu persimpangan dan tekan. Kemudian gerakkan kursor ke kanan persimpangan ini dan tekan lagi. Selanjutnya, gerakkan kursor sedekat mungkin ke persimpangan dan tekan lagi. Kalkulator akan menemukan nilai x. Lakukan hal yang sama selanjutnya untuk persimpangan lainnya.
-
Akhirnya, perkenalkan nilai x yang diperoleh pada langkah sebelumnya ke dalam ekspresi dua faktor. Jika kami menelepon h dan k dua nilai x kami, kami kemudian akan menggunakan ekspresi berikut:(x - h) (x - k) = 0
Jadi, kita akan mendapatkan dua faktor berikut:(x - (-1)) (x - 2) = (x + 1) (x - 2).
- Pensil
- Kertas
- Persamaan derajat kedua (atau persamaan kuadratik)
- Kalkulator grafik (opsional)