Pengetahuan

Bagaimana memfaktorkan trinomial

Posted on
Pengarang: Monica Porter
Tanggal Pembuatan: 16 Berbaris 2021
Tanggal Pembaruan: 1 Juli 2024
Anonim
Pemfaktoran: Memfaktorkan Trinomial
Video: Pemfaktoran: Memfaktorkan Trinomial

Isi

Dalam artikel ini: Mempelajari faktorisasi x2 + bx + Belajar membuat faktor trinomial yang lebih rumit Beberapa kasus faktorisasi trinomial6 khusus

Seperti namanya, trinomial adalah ekspresi matematika yang mengambil bentuk jumlah dari tiga istilah. Paling sering, kita mulai mempelajari trinomial tingkat kedua yang dengan demikian berlangganan: kapak + bx + c. Ada beberapa cara untuk membuat faktor trinomial tingkat kedua. Dengan latihan, Anda akan sampai di sana tanpa kesulitan. Metode yang akan kita lihat tidak berlaku untuk trinomial tingkat yang lebih tinggi (dengan x atau x). Namun, dengan mengerjakan trinomial terakhir ini, seseorang dapat kembali ke trinomial tingkat kedua. Kami melihat semua ini secara rinci.


tahap

Bagian 1 Mempelajari faktorisasi x + bx + c



  1. Gunakan metode SIDS. Anda mungkin mengetahuinya, tetapi mari kita ingat tentang semua ini. Ketika Anda harus mengembangkan produk binomial - (x + 2) (x + 4), misalnya - Anda harus menjumlahkan produk dari istilah yang berbeda dalam urutan "Pertama, Eksternal, Internal, Terakhir". Secara detail, ini memberi:
    • berkembang biak pertama istilah di antara mereka:x+2)(x+4) = x + __
    • gandakan persyaratannya luar di antara mereka: (x2) (x +4) = x + 4x + __
    • gandakan persyaratannya intern di antara mereka: (x +2)(x+4) = x + 4x + 2x + __
    • berkembang biak terbaru istilah di antara mereka: (x +2) (X +4) = x + 4x + 2x + 8
    • Selesai dengan menyederhanakan: x + 4x + 2x + 8 = x + 6x + 8




  2. Memahami faktorisasi apa itu. Ketika Anda mengembangkan produk dari dua pasangan, Anda mendapatkan trinomial bentuk: memilikix +bx +c, a, b dan c menjadi bilangan real. Ketika kita melakukan operasi terbalik, pergi dari trinomial ke produk binomial, kita katakan bahwa kita factorises.
    • Demi kejelasan, ketentuan trinomial harus diberi peringkat agar daya berkurang. Jadi, jika kami memberi Anda: 3x - 10 + x, Anda harus menulis ulang agar: x + 3x - 10.
    • Eksponen terbesar adalah 2 (x), kita berbicara tentang trinomial "tingkat kedua".



  3. Pada awal faktorisasi, kami menempatkan bentuk produk binomial. Menulis: (__ __)(__ __). Kami secara bertahap akan mengisi ruang yang dibiarkan bebas, serta tanda-tanda.
    • Untuk saat ini kami tidak memberi tanda (+ atau -) di antara kedua istilah binomial.




  4. Anda harus mulai dengan menemukan syarat pertama dari setiap pasangan. Jika trinomial Anda dimulai dengan x, dua syarat pertama dari pasangan akan selalu x dan xsejak x kali x = x.
    • Trinomial awal kita adalah: x + 3x - 10 dan karena tidak ada koefisien pada x, kita dapat segera menulis:
    • (x __) (x __)
    • Kita akan lihat nanti bagaimana hasilnya ketika koefisien x berbeda dari 1, seperti 6x atau -x. Untuk saat ini, kita dibiarkan dengan kasus sederhana ini.



  5. Cobalah untuk menebak apa syarat terakhir dari pasangan tersebut. Tinjau bagaimana, dengan metode PEID, istilah terakhir dari binomial telah dikembangkan. Kita sekarang harus melakukan yang sebaliknya. Kami kemudian mengalikan dua istilah terakhir untuk mendapatkan istilah terakhir ("konstan") dari trinomial. Jadi, Anda harus menemukan dua angka yang, dikalikan di antara mereka, akan memberi Anda konstanta trinomial.
    • Dalam contoh kita: x + 3x - 10, konstanta adalah -10.
    • Apa faktor dari -10? Apa dua angka yang, dikalikan di antara mereka, akan memberi Anda -10?
    • Berikut adalah semua kemungkinan kasus: -1 x 10, 1 x -10, -2 x 5 dan 2 x -5. Tuliskan kombinasi ini di suatu tempat untuk Anda ingat.
    • Untuk saat ini, produk binomial Anda tidak berubah. Dia selalu terlihat seperti: (x __) (x __).



  6. Uji berbagai kombinasi. Dari konstanta, Anda telah berhasil mengidentifikasi beberapa kombinasi faktor, yang harus bekerja (jika trinomial dapat direduksi). Pada titik ini, tidak ada solusi lain selain menguji setiap kombinasi untuk melihat apakah salah satu dari mereka memenuhi trinomial. Sebagai contoh:
    • Dalam contoh kami, jumlah produk "Eksternal" dan produk "Internal" harus 3x (diambil dari x + 3x - 1)
    • Ambil kombinasi -1 dan 10: (x - 1) (x + 10). Jumlah dari produk "Eksternal" dan produk "Internal" memberikan: 10x - x = 9x. Itu tidak bekerja!
    • Ambil kombinasi 1 dan -10: (x + 1) (x - 10). Jumlah dari produk "Eksternal" dan produk "Internal" memberikan: -10x + x = -9x. Itu masih tidak pergi! Anda akan melihat bahwa pemeriksaan terakhir ini tidak berguna. Memang, pasangan (-1,10) memberi 9x dan pasangan (1, -10) memberi -9x. Jadi, cobalah satu pasangan saja.
    • Ambil kombinasi -2 dan 5: (x - 2) (x + 5). Jumlah dari produk "Eksternal" dan produk "Internal" memberikan: 5x - 2x = 3x. Eureka! Jawabannya adalah: (x - 2) (x + 5).
    • Dalam kasus trinomial sesederhana yang ini (dimulai dengan x), kita bisa melakukan lebih pendek. Cukup tambahkan dua faktor potensial, tambahkan "x" di akhir dan Anda langsung melihat apakah itu kombinasi yang tepat. Di sana Anda melakukannya: -2 + 5 → 3x. Jika x diapit oleh koefisien, maka metode tersebut tidak berfungsi, itulah sebabnya mengapa baik untuk mengingat metode terperinci.

Bagian 2 Mempelajari faktor trinomial yang lebih rumit



  1. Faktorkan trinomial Anda menjadi trinomial yang lebih sederhana. Misalkan Anda harus memfaktorkan trinomial berikut: 3x + 9x - 30. Coba lihat apakah tidak ada pembagi yang sama untuk ketiga istilah. Kami kemudian mengambil yang terbesar (jika ada beberapa), dari mana namanya "Most Great Common Divisor" (atau PGCD). Dalam trinomial kita akan 3. Mari kita lihat ini secara rinci:
    • 3x = (3) (x)
    • 9x = (3) (3x)
    • -30 = (3)(-10)
    • Dengan demikian, 3x + 9x - 30 = (3) (x + 3x - 10). Oleh karena itu, mudah untuk memfaktorkan kurung kedua sesuai dengan metode yang dijelaskan di atas. Kami memperoleh sebagai berikut: (3) (x-2) (x + 5). Kita tidak boleh melupakan 3 dimasukkan ke dalam faktor.



  2. Terkadang kita tidak bisa memperhitungkan bilangan real, tetapi kuantitas dengan yang tidak diketahui. Jadi kita dapat memasukkan "x", "y" atau "xy". Berikut ini beberapa contohnya:
    • 2xy + 14xy + 24y = (2y)(x + 7x + 12)
    • x + 11x - 26x = (X)(x + 11x - 26)
    • -x + 6x - 9 = (-1)(x - 6x + 9)
    • Kemudian, tentu saja, faktor trinomial baru seperti yang kita lihat sebelumnya. Lakukan pemeriksaan untuk melihat apakah tidak ada kesalahan. Berlatihlah dengan latihan yang disarankan di akhir artikel ini.



  3. Cobalah untuk membuat faktor trinomial dengan x diapit oleh koefisien. Beberapa trinomial tingkat kedua lebih sulit untuk difaktorkan, gambar 3x + 10x + 8. Kita akan melihat bagaimana kita melanjutkan, lalu apa yang dapat Anda latih dengan latihan yang diusulkan di akhir artikel. Inilah cara kami beroperasi:
    • Tanyakan produk pasangan: (__ __)(__ __)
    • Masing-masing dari dua istilah "Pertama" harus memiliki "x" dan produk keduanya harus 3x. Hanya ada satu kemungkinan: (3x __) (x __), 3 menjadi bilangan prima.
    • Temukan faktor-faktor 8. Ada dua kemungkinan: 1 x 8 atau 2 x 4.
    • Ambil kombinasi ini untuk menemukan konstanta pasangan. Poin penting: karena "x" yang tidak diketahui memiliki koefisien yang berbeda, urutan kombinasi itu penting. Anda harus menemukan ujung tengah, di sini, 10x. Berikut adalah kombinasi yang berbeda:
    • (3x + 1) (x + 8) → 24x + x = 25x tidak!
    • (3x + 8) (x + 1) → 3x + 8x = 11x tidak!
    • (3x + 2) (x + 4) → 12x + 2x = 14x tidak!
    • (3x + 4) (x + 2) → 6x + 4x = 10x ya! Ini adalah faktorisasi yang tepat.



  4. Di hadapan orang yang tidak dikenal yang memiliki kekuatan lebih dari 2, orang dapat membuat pengganti yang tidak diketahui. Suatu hari, Anda tentu harus membuat faktor trinomial tingkat keempat (x) atau kelima (x). Tujuannya adalah untuk membawa trinomial ini kembali ke sesuatu yang diketahui, yaitu trinomial tingkat kedua untuk memfaktorkan tanpa masalah. Sebagai contoh:
    • x + 13x + 36x
    • = (x) (x + 13x + 36)
    • Ciptakan yang tidak dikenal baru yang akan menyederhanakan masalah. Kami akan menempatkan di sini bahwa Y = x. Kami menempatkan huruf Y untuk mengingat bahwa itu adalah pengganti. Trinomial kemudian menjadi:
    • = (x) (Y + 13Y + 36): kami memfaktisasi seperti pada bagian 1.
    • = (x) (Y + 9) (Y + 4). Inilah saatnya untuk mengganti substitusi yang tidak dikenal dengan nilai sebenarnya:
    • = (x) (x + 9) (x + 4)
    • = (x) (x + 3) (x - 3) (x + 2) (x - 2)

Bagian 3 Beberapa kasus trinomialisasi khusus



  1. Cari kemungkinan bilangan prima. Lihat apakah konstanta dan / atau koefisien dari suku pertama atau ketiga tidak akan menjadi bilangan prima. Ingatlah bahwa suatu angka dikatakan "prima" ketika angka itu hanya dapat dibagi oleh 1 atau dirinya sendiri. Mulai dari definisi ini, jika kita menemukan bilangan prima di tempat-tempat yang ditunjukkan di atas, trinomial hanya dapat faktor dalam bentuk produk tunggal binomial.
    • Misalnya, dalam x + 6x + 5, konstanta 5 adalah bilangan prima, sehingga produk binomial berupa: (__ 5) (__ 1)
    • Dalam 3x + 10x + 8, koefisien 3 adalah bilangan prima, sehingga produk binomial akan berbentuk: (3x __) (x __).
    • Akhirnya, dalam 3x + 4x + 1, 3 dan 1 menjadi bilangan prima, satu-satunya solusi yang mungkin adalah: (3x +1) (x +1). Namun, selalu periksa kombinasinya. Kebetulan beberapa trinomial tidak dapat difaktorkan. Dengan demikian, 3x + 100x +1 tidak dapat difaktorkan (kami mengatakan bahwa itu "tidak dapat direduksi"). Dengan 3 dan 1, Anda tidak akan pernah mendapatkan 100.



  2. Orang harus selalu memikirkan kasus trinomial yang merupakan pengembangan identitas yang luar biasa, kotak yang sempurna untuk hanya mengambil contoh ini. Dengan kuadrat sempurna yang kami maksud adalah produk dari dua pasangan yang sangat identik: (x + 1) (x + 1) yang kami tulis (x + 1). Berikut adalah beberapa kotak yang sempurna ini:
    • x + 2x + 1 = (x + 1) dan x - 2x + 1 = (x - 1)
    • x + 4x + 4 = (x + 2) dan x - 4x + 4 = (x - 2)
    • x + 6x + 9 = (x + 3) dan x - 6x + 9 = (x - 3)
    • Sebuah trinomial memilikix + bx + c adalah pengembangan kuadrat sempurna jika memiliki dan c sendiri kotak positif (seperti 1, 4, 9, 16, 25 ...) dan jika b (positif atau negatif) sama dengan 2 (√a x √c) = 2 √ac.



  3. Lihat apakah mungkin untuk membuat faktor. Memang, iI adalah trinomial yang tidak bisa difaktorkan. Jika Anda kesulitan menentukan faktor trinomial dari bentuk kanonik kedua kapak + bx + c, karena tidak ada akar yang jelas, Anda harus menggunakan metode diskriminan (Δ). Yang terakhir dihitung sebagai berikut: Δ = √b - 4ac. Jika Δ <0, maka trinomial tidak dapat difaktorkan.
    • Untuk trinomial yang bukan derajat kedua, gunakan kriteria Eisenstein yang dijelaskan di bagian "Tips".